Sunday, November 15, 2009

MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT

Oleh : Almira Yunitasari

Kelas : XII IPA 2/ 05 SMA PANGUDI LUHUR Yogyakarta

Email : Raamiiraa@gmail.com

My blog : Raamiiraa.blogspot.com



Menyusun Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat  ax2 +bx + c = 0 dapat difaktorkan menjadi (x- x1 )(x- x2) = 0
sehingga akar-akar x1 dan  x2. dapat ditentukan.

Sebaliknya jika akar-akar x1dan  x2 diketahui maka dapat disusun  suatu persamaan kuadrat dengan mengalikan suku-suku bentuk faktor (x- x1 )(x- x2) = 0

Perhatikan Skema berikut :


Contoh

Tentukan Persamaan  yang akar-akarnya 2/3 dan –5 !

jawab

 

Menyusun Persamaan kuadrat jika jumlah dan hasil kali akar-akarnya Diketahui

Persamaan kuadrat dapat disusun jika jumalah dan hasil kali akar-akarnya diketahui.

Gunakan rumus : X2 - (x1 + x2 )(x1 . x2) = 0

Contoh 1
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya –4 dan 7

Jawab :

x1 + x2 = -4 +7 =3

x1 . x2= -4.7 = -28

Sehingga persamaan kuadratnya  adalah :

X2 - (x1 + x2 )(x1 . x2) = 0

X2 - 3x - 28 = 0

rumus X2 - (x1 + x2 )x + (x1 . x2) = 0 dapat digunakan untuk menentukan suatu persamaan kuadrat baru dari suatu persamaan kuadrat dengan syarat tertentu, dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat.

Contoh 2

Diketahui persamaan kuadrat  x2 –3x + 7 = 0 . tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dua kalinya

Jawab :

x2 –3x + 7 = 0 akarnya α dan β

Persamaan kuadrat baru akar-akarnya x1 dan x2 , x1 = 2α dan x2 =2β

x1 + x2 = 2α + 2β = 2(α+β)= 2.(-3)=-6

x1 . x2 = 2α . 2b = 4α.β= 4.7=28

Persamaan kuadrat baru :

X2 - (x1 + x2 )(x1 . x2) = 0

X2 +6x + 28 = 0

 

 

Jumlah dan hasil kali Akar PK

Perhatikan skema berikut

Rumus Tambahan  :  

Contoh

Diketahui Persamaan Kuadrat x2 + 4x +5 =0 mempunyai akar x1 dan x2, tentukan nilai

    1. x1 + x22  dan x1 . x2  
    2. x1 2 + x22
    3. x 13 + x23

Jawab

 

 

Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan pemfaktoran dilakukan dengan cara mengubah bentuk umum ax2+ bx+ c=0 menjadi bentuk faktor (x –α) (x -β)=0
Langkah-langkah penyelesaian

  • Ubah ke bentuk faktor (x – α) (x - β)=0
  • Tentukan akar-akarnya dengan (x – α)=0 atau (x - β)=0 , sehingga akar-akarnya x1=α atau x2=β.

Bentuk ini difaktorkan menjadi x (x-m) =0               

Contoh :
Tentukan akar-akar persamaam kuadrat x2 + 6x = 0 ;      

Jawaban :

x2 + 6x = 0
x(x + 6) = 0
x = 0 atau x+ 6 =0
x = 0 atau x = - 6         

Bentuk  ax2 +bx +c = 0

untuk a =1  , x2 + bx +c = 0
Bentuk faktor dari persamaan kuadrat untuk a =1  adalah (x+α) (x+β)=0
x2 + αx + βx + αβ = 0
x2 + (α + β)x + αβ = 0

Perhatikan skema berikut :

Jadi persamaan kuadrat x2 + bx +c = 0 dapat difaktorkan menjadi  (x+α) (x+β)=0
Jika ada bilangan a dan b sehingga (x+α) = b dan  ab= c

Contoh :
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat x2 – 5x – 24 =0

 

Jawaban :

Bentuk Faktor dari x2 –5x –24 =0 adalah :
(x - 8) (x+3)=0
(x - 8) = 0 atau (x+3) = 0
Jadi ,  akar-akarnya adalah  x = 8 atau x= -3

Untuk a ‡ 1

ax2 +bx +c = 0 dapat difaktorkan jika ada bilangan a  dan b sehingga (a+b) = b dan  ab= ac
Bentuk faktor dari persamaan kuadrat untuk a ¹1  adalah a (x+  ) (x+ ) = 0

Contoh 2
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 3x2 +7x +2 =0

Jawaban

    

(3x +1) (x+2)=0

(3x+1) = 0 atau (x+2) = 0

Jadi , akar-akarnya adalah  x = -1/3 atau x = -2

Penyelesaian persamaan kuadrat dengan kuadrat sempurna

Tidak semua persamaan kuadrat mudah difaktorkan, hanya persamaan kuadrat yang akarnya rasional saja yang mudah difaktorkan. Persamaan kuadrat yang sulit difaktorkan dapat diselesaiakn dengan kuadrat sempurna atau rumus kuadrat.

Persamaan kuadrat dapat diubah kebentuk kuadrat sempurna yaitu x2= p atau (x-m)2 = p

Bentuk  ax2 + c = 0

Langkah-langkah

  • Ubah ke bentuk x2= p
  • Tentukan akar dengan sifat

Contoh
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat  x2 - 9= 0  !

Jawaban :



Bentuk  ax2 +bx + c = 0

Langkah-langkah :

  • Ubah ke bentuk kuadrat sempurna (x-m)2= p dengan rumus

  • Tentukan akar menggunakan sifat

          

Contoh 1

Tentukan akar persamaan kuadrat x2 + 4x –2 =0 dengan kuadrat sempurna !

Jawaban :

Contoh 2

Tentukan akar persamaan kuadrat 2x2  + 4x +1 =0 dengan kuadrat sempurna !

Jawaban

 

Penyelesaian persamaan kuadrat dengan Rumus Kuadrat

  • Rumus ini juga dikenal dengan nama rumus ABC
  • Dapat digunakan untuk semua bentuk Persamaan Kuadrat
  • Menjadi alternatif terakhir jika persamaan kuadrat tidak dapat difaktorkan atau terlalu sulit dengan rumus kuadrat sempurna.

Contoh

Tentukan akar persamaan kuadrat 2x2 –3x –9 =0 dengan rumus ABC !

Jawaban

 

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang pangkat tertinggi peubahnya sama dengan dua.

Contoh :

  • Y2+ 4y +1 = 0
  • x2 + 2 ( x + 1) +4 = 0
  • m p2 + (m+1) p + 3p+1 = 0

Peubah atau variabel persamaan kuadrat umumnya adalah x, tetapi variabel tersebut dapat huruf apa saja seperti pada contoh.  

Bentuk umum persamaan kuadrat ax2+ bx + c =0 , a ‡0

  • x adalah peubah atau variabel
  • a adalah koefisien x2
  • b adalah koefisien x
  • c adalah konstanta  

Persamaan kuadrat yang tidak ditulis dalam bentuk umum ini dikenal dengan nama persamaan tersamar. Untuk memastikan , memudahkan penulisan dan penyelesaian, sebaiknya persamaan tersamar tersebut diubah dalam bentuk umum ini ax2+ bx + c =0 , a ‡ 0 

Contoh :

Ubah ke bentuk umum dan tentukan apakah persamaan berikut ini adalah persamaan kuadrat  

a. ( x2 + 3 )2 – ( x4 + x + 4 ) = 0        b.  

Jawab :

a. ( x2 + 3 )2 – ( x4 + x + 4 )=0

  • x4 + 6x2 + 9 –x4 - x - 4 )=0
  • 6x2 + - x + 5=0 , persamaan kuadrat  

 

b.

------------------------ x 152

15 + 3x3 + 10 x2 = 0, bukan persamaan kuadrat

 

Akar Persamaan Kuadrat

Akar persamaan kuadrat adalah nilai suatu variabel yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut. Contoh Tentukan bilangan mana diantara –5, 3 dan 7/2 , yang merupakan akar dari Persamaan kuadrat 2x2 + 3x = 35  

Untuk x = -5,
<--> 2x2  + 3x = 35
<--> 2(-5)2  + 3(-5) = 35
<--> 50 – 15 = 35,
<-->35 = 35 Benar, jadi x = -5 adalah akar

Untuk x = 3,
<--> 2x2 + 3x = 35
<--> 2(3)2 + 3(3) = 35
<--> 18 + 9 = 35,  
<-->27 = 35 salah, jadi x= 3 bukan akar

 

Penyelesaian persamaan kuadrat :

  • Mencari akar persamaan kuadrat adalah menentukan bilangan yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut.
  • Suatu persamaan kuadrat dapat memiliki 2 (dua) akar , satu akar , atau tidak mempunyai akar
  • Penyelesaian persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan : Pemfaktoran , Melengkapkan bentuk kuadrat dan menggunakan rumus kuadrat  

Skema bentuk dan penyelesaian persamaan kuadrat 

SOAL-SOALNYAH....!!!!!!

1.    Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mela

       lui titik  A( 1 , 0 ) , B( 3 , 0 ) dan C( 0 ,-6 )

       adalah  y =   ….

       a.    2x2 + 8x – 6        b.    - 2x2 + 8x – 6  

       c.    2x2 - 8x + 6         d.     - 2x2 - 8x – 6 

       e.    - x2 + 4x – 6                   ( U N 2008 A )

 

2.    Himpunan penyelesaian dari persamaan ku

       adrat     4x2 – 3x – 10  = 0       adalah ….

 

       a.  {- 5/4, 2 }   b.   { 5/4, 2 }   c.  {- 4/5, 2} 

       d.  {- 5/4, 2 }   e.   {- 5/2,2 } ( UN 2008 B )

 

3.    Persamaan kuadrat   x2 – 3x + 1 = 0 , mem

       punyai akar-akar   x1   dan   x2   , persamaan

       kuadrat yang akar-akarnya   2x1   dan   2x2    

       adalah ….   

       a.   x2 + 6x + 2 = 0       b.   x2 - 6x + 2 = 0

       c.   x2 + 6x + 4 = 0       d.   x2 - 6x + 4 = 0

       e.   x2 + 12x + 4 = 0              ( U N 2008 B )

 

4.    Akar-akar pers. kuadrat  3x2 – 4x + 2 = 0

       adalah   a   dan    b   nilai dari

       ( a + b )2 – 2ab   adalah  …..

 

       a.     10/9          b.       1            c.        4/9

       d.     1/3           e.        0        ( U N 2008 B )

 

5.   Jika  x1 dan  x2  adalah akar-akar persamaan

      x2 – x + 2  = 0 , persamaan kuadrat baru yg

      akar-akarnya 2x1- 2  dan  2x2 – 2  adalah ….

      a.   8x2 + 2x + 1 = 0   b.   x2 + 8x + 2 = 0

      c.   x2 + 2x + 8 = 0     d.   x2 – 8x – 2 = 0

      e.   x2 – 2x + 8  = 0                 ( UN 2007 A )


6.   Persamaan kuadrat   2x2 + 3x – 5  =  0  

      mempunyai akar-akar x1  dan x2 . persamaan

      kuadrat yg akar-akarnya 2x1 – 3 dan  2x2 – 3

      adalah …

      a.   2x2 + 9x + 8 = 0    b.   x2 + 9x + 8  = 0

      c.   x2 – 9x – 8  = 0      d.    2x2 – 9x + 8 = 0

      e.   x2 + 9x – 8  = 0                 ( UN 2007 B )


7.   Persamaan kuadrat yang akar-akarnya   ½

      lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat

      2 x- 3 x + 1 = 0  adalah ….    

      a.   2x- 3x + 5 = 0      b.     2x+ 3x -5 = 0  

      c.   2x- 5x + 3 = 0      d.     2x+ 5x + 3 =0    

      e.   2x- 5x – 3 = 0                    ( UN 2005 )

Materi ini dapat di download disini



0 comments:

Post a Comment

Arsip Blog